Plano cartesiano

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Plano cartesiano

El plano cartesiano es un gráfico bidimensional que se utiliza para representar funciones matemáticas o para mostrar las relaciones entre cantidades físicas.

¿Qué es el plano cartesiano?

El plano cartesiano es una estructura bidimensional que forma parte del método de coordenadas denominadas como "xy". Estas coordenadas se utilizan para trazar pares de datos en un gráfico de dos líneas, que estan formadas por dos rectas que se dividen entre sí.

Origen

El plano cartesiano lleva el nombre del filósofo matemático e influyente René Descartes, quien originalmente propuso el concepto llamado, punto de partida del conocimiento.

Características

  • Es bidimensional.
  • Las escalas de los ejes tienen parecido.
  • Los ejes de coordenadas son líneas planas entre sí.
  • Los puntos en los ejes no corresponden a ningún cuadrante.
  • Los números que están en la derecha en el eje de la x y por la parte de arriba del eje de la Y, son positivos.

Propiedades

Un plano cartesiano suele estar representado por un plano dividido por dos rectas perpendiculares, la abscisa y los ejes de coordenadas. Este sistema se utiliza para localizar puntos en el plano de esta forma:

  • Coordenadas numéricas.
  • Dos ejes perpendiculares.
  • Marcas en el eje son idénticas.
  • Divisiones en los ejes con la misma longitud.

¿Para qué sirve el plano cartesiano?

El plano cartesiano permite:

  • Graficar una función determinada.
  • Determinar una línea recta que pase por los dos puntos.
  • Dibujar un polígono que conozca los puntos de los vértices.
  • Encontrar las coordenadas de un punto a punto en el plano cartesiano.

Partes del plano cartesiano

Las partes fundamentales que forman a un plano cartesiano son las ejes de coordenadas.

Son llamadas ejes de coordenadas porque estan unidas por dos rectas perpendiculares y se identifican de la siguiente manera:

  • Abscisa: son identificadas por la letra "x" y son colocadas horizontal.
  • Ordenadas: se indican con la letra "y" de manera vertical se colocan.

Qué es el Punto 0

El punto 0 es el lugar específico donde llegan los ejes  "x" e "y", punto importante que se designa el valor (0). Por ello, cada eje representa una escala numérica  positiva o negativa, según la dirección que represente con respecto al origen.

Cuadrante del plano cartesiano

Los cuadrantes del plano cartesiano son cuatro áreas formadas por la unión de las dos rectas perpendiculares. Estos cuadrantes se clasifican tradicionalmente con números romanos:

  • Cuadrante I: la ordenada y la abscisa son positivas.
  • Cuadrante II: la ordenada es positiva y la abscisa es negativa.
  • Cuadrante III: la abscisa y la ordenada son ambas negativas.
  • Cuadrante IV: la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

Coordenadas del plano cartesiano

Las coordenadas son los números que dan la ubicación al punto en el plano cartesiano. Estas coordenadas son formadas fijando un cierto valor al eje "x" y otro valor al eje "y". Son representadas de la siguiente forma:

P (x, y), donde:

  • P = punto en el plano.
  • x = eje de abscisas (horizontal).
  • y = eje de ordenadas (vertical).

Dominio contra la dominación X

La relación entre el dominio y el contradominio es de uno a uno, esto quiere decir, que solo se puede tener exactamente dos puntos.

Para encontrar una función en el plano cartesiano es necesario primero tabular, es decir, ordenar los puntos de la tabla encontrados por los pares para ubicarlos o posicionarlos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Dominación X:

f(2) = 3x    2     6

f(3) = 3x    3      9

f(4) = 3x    4     12

X sin coordinar:

2  3 (2.3)

-43 (-4.2)

6 -1 (6,-1)

Elementos

La  ordenada (y) y la horizontal (x), ambas líneas se extienden hasta el infinito con valores positivos y negativos. La única intersección entre los dos se llama origen de coordenadas (0,0).

 A partir del origen, cada eje se etiqueta con un valor entero llamado punto. Cada punto está representado por sus propias coordenadas y siempre se le da primero la abscisa y luego las coordenadas. Una línea se crea conectando dos puntos, y una figura se puede crear con varias líneas.

¿Cómo trazar números complejos en el plano cartesiano?

Además de graficar números reales, se puede también usar el plano de coordenadas para graficar números complejos. Por eso, el plano cartesiano se denomina plano complejo.

El procedimiento para graficar números complejos es similar al procedimiento para graficar números reales de la siguiente manera:

  • Un número complejo se identifica de la manera (a + ib).
  • Se desplaza los espacios (a) en el eje (x) hacia la izquierda o hacia la derecha dependiendo del signo.
  • De igual manera, los espacios (b) se mueven hacia la parte de arriba o hacia abajo en el eje. Se realiza una línea horizontal en este punto.
  • El punto de intersección de estas dos rectas dará el número complejo.

 Fórmulas

  • Distancia entre dos puntos: la distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas se representa de esta forma: (x {1}, y_{1})(x_{2},y_{2}).
  • Transformaciones euclidianas: son una transformación euclidiana o movimiento euclidiano llamado (biyectivo) que conserva la distancia entre los puntos.
  • Traducción: mover un conjunto de puntos en un plano cartesiano y mantener la distancia, dirección  y el orden entre ello, es lo mismo que sumar un número fijo de pares (a, b) a las coordenadas cartesianas de cada punto del conjunto.
  • Rotación: girar una forma en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo específico alrededor del origen, es lo mismo que reemplazar cada punto con coordenadas (x, y).

Gráfico de plano cartesiano

Un gráfico de plano cartesiano es un diagrama que da la representación visual de la relación entre dos variables. Cuando tenemos una ecuación en dos variables requerimos dos ejes (x e y) para graficarla. Los pasos para graficar una ecuación en dos variables son los siguientes:

Un gráfico del plano cartesiano es un gráfico que representa visualmente una relación entre dos variables. Se tiene una ecuación con dos variables, necesitas dos ejes (x e y) para graficarla. Para trazar una ecuación con dos variables se necesita:

  • Encontrar un valor correspondiente de (y).
  • Sustituir el valor de x) por un valor numérico.
  • Conectar los puntos para obtener el gráfico requerido.

 Las ecuaciones junto con la forma del gráfico se dan de la siguiente manera:

  • y = mx + c: es una ecuación lineal en dos variables y trazará una línea recta en el plano cartesiano.
  • (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2: esta ecuación dará como resultado un círculo con el centro en (h, k) y el radio mide r unidades.
  • y2 = 4ax.: esta es la ecuación estándar de una parábola.

Según el tipo de ecuación en dos variables y el grado, se dibuja en diferentes tipos de curvas en el plano cartesiano.

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